Электрический пробой и фигуры Лихтенберга

В сильном поле изолятор пробивается не прямой линией, а ветвящимся «деревом». Разряд растёт туда, где поле сильнее всего, а поле сильнее всего у острых кончиков – поэтому каждый новый шаг разряда делает следующий шаг вероятнее именно рядом с собой.

Молния. Фигуры Лихтенберга, которые выжигают в оргстекле электронным пучком и которые остаются на коже после удара молнии. «Электрические деревья» в изоляции высоковольтных кабелей – одна из главных причин их старения и отказа.

Как один параметр модели – насколько сильно рост зависит от поля – меняет форму разряда от сплошного пятна до одиночной молнии. И какую фрактальную размерность имеет получившееся дерево.

1. Разберитесь, почему разряд растёт ветвящимся «деревом»: он идёт туда, где поле сильнее всего, а поле сильнее всего у острых кончиков. Выпишите, как связаны рост и потенциал.
2. Запишите модель Нимейера – Пьетронеро – Висмана (Phys. Rev. Lett. 52, 1033 (1984)): $\nabla^2\varphi = 0$, на разряде $\varphi = 0$, на внешней окружности $\varphi = 1$; к разряду присоединяется соседний узел с вероятностью $\propto |\nabla\varphi|^\eta$, после каждого шага потенциал пересчитывается.
3. Возьмите из задачи LBM сетку и добавьте к ней решатель уравнения Лапласа – метод Якоби или верхней релаксации, SOR, со стартом от прошлого решения.
4. Проверьте решатель на коаксиальных окружностях: точный ответ $\varphi = \frac{\ln(r/r_1)}{\ln(r_2/r_1)}$ (минимум).
5. Запустите рост при $\eta = 1$ и измерьте размерность – должно получиться около 1,7, как у диффузионно-ограниченной агрегации; при $\eta = 0$ рост компактный, размерность 2 (минимум).
6. Следите за производительностью: пересчёт Лапласа после каждого шага дорог, держите сетку ~200×200, SOR с тёплым стартом и несколько итераций на шаг.
7. Снимите фрактальную размерность $D$ по закону $N(r) \propto r^D$ для $\eta$ от 0 до 3 и постройте график «масса от радиуса» в логарифмическом масштабе: с ростом $\eta$ разряд вытягивается и $D$ уменьшается к 1.
8. Усредняйте размерность по нескольким разрядам – на одном она шумная.
9. Расширение: поставьте пробой между плоскими электродами вместо коаксиальных окружностей.
10. Оформите работу: растущий разряд на тепловой карте потенциала, график «масса от радиуса», фрактальную размерность от параметра; сформулируйте выводы и подготовьте доклад.