Циклотрон: как разгоняют частицы

В магнитном поле заряд движется по окружности, и время оборота не зависит от скорости: быстрый заряд идёт по большему кругу, но обходит его за то же время. Если на каждом полуобороте подталкивать частицу электрическим полем, она раскручивается по спирали и набирает энергию.

Первый циклотрон построил Эрнест Лоуренс в 1931 году. Сегодня циклотроны в больницах производят короткоживущие изотопы для позитронно-эмиссионной томографии и разгоняют протоны для протонной терапии рака.

Почему обычный циклотрон перестаёт разгонять частицу: с ростом энергии растёт релятивистская масса, частица отстаёт от поля по фазе, и подталкивание перестаёт попадать в такт. Как предельная энергия зависит от ускоряющего напряжения и как это чинят – синхроциклотрон меняет частоту поля, изохронный циклотрон – поле по радиусу.

1. Разберитесь, почему в магнитном поле время оборота не зависит от скорости и как подталкивание на каждом полуобороте раскручивает частицу по спирали. Выпишите уравнения движения.
2. Запишите $\frac{d\vec p}{dt} = q(\vec E + \vec v\times\vec B)$ и $\vec v = \frac{\vec p}{\gamma m}$; ларморовская частота $\omega = \frac{qB}{\gamma m}$, радиус $r = \frac{p}{qB}$, энергия покоя протона $938{,}27$ МэВ.
3. Возьмите каркас баллистики (движение тела под действием силы) и превратите его в циклотрон: магнитное поле, зазор с ускоряющим напряжением и частица, проходящая его каждый полуоборот.
4. Реализуйте схему Бориса – в чистом магнитном поле она сохраняет модуль скорости точно. Сравните её с явным Эйлером: тот на каждом обороте добавляет энергию, и это видно на графике (минимум).
5. Проверьте нерелятивистский циклотрон: без зазора должна получиться окружность заданного радиуса и периода, а с зазором – прирост энергии $2qV$ за оборот и радиус, растущий как корень из номера оборота (минимум).
6. Проверьте дрейф в скрещённых полях со скоростью $E/B$.
7. Запустите частицу до больших энергий: при кинетической энергии 20 МэВ $\gamma \approx 1{,}021$, частота обращения ниже на 2 %, и этого хватает, чтобы частица за сотни оборотов разошлась с полем по фазе. Формулу импульса возьмите готовой – релятивистская часть для вас новая физика.
8. Мерьте фазу в момент прохода зазора и постройте график сдвига фазы и график энергии по оборотам. Затем снимите предельную энергию от напряжения на зазоре: чем выше напряжение, тем меньше оборотов и меньше набегает фазы.
9. Расширение: разберите, как с релятивизмом борются, – синхроциклотрон подстраивает частоту поля, изохронный циклотрон меняет поле по радиусу.
10. Оформите работу: анимацию спирали, график энергии по оборотам, график сдвига фазы и предельную энергию от напряжения; сформулируйте выводы и подготовьте доклад.