Диффузия и броуновское движение

Частицу со всех сторон толкают молекулы, и она блуждает случайно: шаг влево, шаг вправо, без всякого плана. Отдельная частица непредсказуема, но облако таких частиц расплывается вполне закономерно – его ширина растёт как корень из времени.

Эйнштейн в 1905 году объяснил броуновское движение, а Перрен в 1908 году по нему измерил число Авогадро. Диффузия в пористых средах – это то, как газ проходит через почву, лекарство через ткань, реагент в катализатор. Оптический пинцет (Нобелевская премия 2018 года, Эшкин) калибруют именно по броуновскому дрожанию бусинки в ловушке.

Как препятствия замедляют диффузию – чему равен эффективный коэффициент диффузии при разной доле занятого места. Что происходит, когда свободные каналы почти перестают сообщаться: диффузия становится «аномальной».

1. Разберитесь, почему отдельная частица непредсказуема, а облако расплывается закономерно – его ширина растёт как корень из времени. Выпишите, что такое коэффициент диффузии.
2. Выберите модель: случайное блуждание (на решётке или с шагом в случайном направлении) либо уравнение Ланжевена в передемпфированном пределе $x_{n+1} = x_n + \sqrt{2D\,\Delta t}\,\xi$, где $\xi$ – нормальное с дисперсией 1.
3. Напишите программу с нуля: тепловая карта и гистограмма – основная графика этой темы.
4. Проверьте свободную диффузию: в 2D средний квадрат смещения $\langle r^2\rangle = 4Dt$, по одной координате $\langle x^2\rangle = 2Dt$, а гистограмма $x$ – гауссиана с дисперсией $2Dt$ (минимум).
5. Поставьте в область случайные перекрывающиеся диски и посчитайте эффективный $D$ от доли покрытой площади – этот график обязателен, иначе тема превратится в «посмотрите, как красиво» (минимум).
6. Наберите статистику: берите много частиц и усредняйте, иначе разброс съест весь эффект.
7. Проверьте, что свободное пространство перестаёт простреливаться насквозь при покрытой доле около 0,68 – это порог континуальной перколяции перекрывающихся дисков.
8. Подойдите к порогу и постройте средний квадрат смещения от времени в логарифмическом масштабе: вблизи порога $\langle r^2\rangle \propto t^\alpha$, где $\alpha < 1$ – диффузия становится аномальной. Сравните с прошлогодним проектом LBM: та же пористая среда, другой физический процесс.
9. Расширение: смоделируйте оптический пинцет – частицу в ловушке $x_{n+1} = x_n - \frac{\kappa}{\gamma}x_n\Delta t + \sqrt{2D\Delta t}\,\xi$; стационарная гистограмма – гауссиана с дисперсией $\frac{kT}{\kappa}$, и по ней восстанавливается жёсткость ловушки – так делают в лабораториях.
10. Оформите работу: анимацию облака частиц, гистограмму смещений поверх гауссианы, график $\langle r^2\rangle$ от времени и график $D_{эфф}$ от доли препятствий; сформулируйте выводы и подготовьте доклад.