Двойной маятник: карта хаоса

Маятник, подвешенный к другому маятнику, при больших размахах движется непредсказуемо. Два запуска с разницей в доли градуса через несколько секунд расходятся полностью – и предсказать, где окажется каждый, невозможно.

Это классическая модель детерминированного хаоса. Та же чувствительность к начальным условиям ограничивает прогноз погоды. Похожие задачи возникают в манипуляторах роботов и при описании движения ноги при ходьбе.

Как построить «карту хаоса»: для каждой пары начальных углов – время до первого переворота маятника. И как быстро расходятся близкие траектории – это показывает показатель Ляпунова, – и как это зависит от энергии.

1. Разберитесь, почему двойной маятник при больших размахах движется непредсказуемо, а два запуска с разницей в доли градуса расходятся полностью.
2. Возьмите уравнения Лагранжа для двух углов – готовые формулы есть в любом справочнике и в Википедии, выводить самому не обязательно – и выберите интегратор RK4.
3. Возьмите каркас задачи о маятнике и добавьте к нему второй маятник.
4. Проверьте сохранение полной энергии – в длинных уравнениях Лагранжа легко ошибиться, и тест энергии эту ошибку поймает (минимум).
5. Проверьте малые колебания при равных массах и длинах: должны получиться две нормальные частоты $\omega = \sqrt{(2 \pm \sqrt2)\frac{g}{l}}$, то есть $0{,}765\sqrt{g/l}$ и $1{,}848\sqrt{g/l}$ (минимум).
6. Проверьте строгую границу на карте переворотов: из состояния покоя маятник с равными массами и длинами не может перевернуться, если $2\cos\theta_1 + \cos\theta_2 > 1$ – вся эта область на карте обязана остаться одного цвета.
7. Постройте карту переворотов: для каждой пары начальных углов – время до первого переворота. Карта – это сотни тысяч траекторий (сетка 300×300), поэтому считайте без отрисовки и с ограничением по времени (минимум).
8. Запустите два почти одинаковых маятника и постройте график расстояния между траекториями в логарифмическом масштабе; сравните RK4 с симплектической схемой по дрейфу энергии (минимум).
9. Расширение: постройте сечение Пуанкаре или снимите показатель Ляпунова от энергии.
10. Оформите работу: анимацию двух почти одинаковых маятников, которые расходятся, цветную карту «время до переворота» по начальным углам, график расстояния между траекториями в логарифмическом масштабе; сформулируйте выводы и подготовьте доклад.