Теплопроводность: как устроен радиатор процессора

Тепло растекается от горячего к холодному, и чем больше площадь, тем быстрее оно уходит. Рёбра радиатора как раз увеличивают площадь, с которой воздух уносит тепло.

Радиаторы процессоров и видеокарт, теплоизоляция домов, охлаждение двигателей.

Какой длины и сколько рёбер нужно при заданном количестве алюминия. Длинное ребро далеко от основания почти холодное и работает плохо (это называют эффективностью ребра), а короткое отводит мало тепла – значит, при заданной массе металла есть наилучшая длина.

1. Разберитесь, как тепло растекается от горячего к холодному и почему рёбра радиатора помогают: они увеличивают площадь, с которой воздух уносит тепло. Выпишите уравнение теплопроводности.
2. Запишите $\frac{\partial T}{\partial t} = a\nabla^2 T$, явную схему (пять точек) и условие устойчивости $\Delta t \le \frac{h^2}{4a}$; на поверхности рёбер – охлаждение по Ньютону $q = \alpha(T - T_{возд})$, в основание подводится заданный поток тепла.
3. Возьмите из задачи LBM сетку и тепловую карту и достройте их до радиатора: подвод тепла в основание и рёбра с охлаждением.
4. Возьмите свойства материалов: алюминий – теплопроводность около 205–237 Вт/(м·К), температуропроводность $a \approx 10^{-4}$ м²/с; коэффициент теплоотдачи воздуха около 5–25 Вт/(м²·К) при естественной конвекции и 25–250 при обдуве вентилятором.
5. Проверьте затухание: квадратная пластина с нулевыми краями и начальным распределением $\sin\frac{\pi x}{L}\sin\frac{\pi y}{L}$ должна затухать как $e^{-2\pi^2 a t/L^2}$ (минимум).
6. Проверьте стационар одного ребра: $\frac{T - T_{возд}}{T_0 - T_{возд}} = \frac{\cosh m(L - x)}{\cosh mL}$, где $m = \sqrt{\frac{\alpha P}{\lambda A}}$ ($P$ – периметр сечения, $A$ – площадь, $\lambda$ – теплопроводность); эффективность ребра $\eta = \frac{\tanh mL}{mL}$. Специально нарушьте условие устойчивости и посмотрите на «шахматную» разболтку решения (минимум).
7. Снимите серию «температура основания от длины ребра» (минимум). На мелкой сетке до стационара нужно много шагов – шаги за кадр поднимите, как в LBM.
8. Найдите, какой длины и сколько рёбер нужно при заданном количестве алюминия: длинное ребро далеко от основания почти холодное и работает плохо, короткое отводит мало тепла. Сравните алюминий с медью.
9. Расширение: ищите оптимум сразу по двум параметрам или перейдите к неявной схеме с итерациями Якоби для стационара.
10. Оформите работу: тепловую карту радиатора, температуру основания от числа и длины рёбер, профиль температуры вдоль ребра поверх теоретической кривой; оговорите в выводах, что модель не учитывает, как слишком частые рёбра мешают течению воздуха, и подготовьте доклад.