Модель Изинга: почему магнит теряет намагниченность

Магнит – это решётка крошечных стрелок-спинов. Каждая стрелка хочет смотреть туда же, куда смотрят соседи, а тепловое движение их сбивает. При определённой температуре порядок разрушается скачком – это фазовый переход.

Точка Кюри: железо перестаёт быть магнитом при 1043 К. Та же модель описывает переход жидкость – газ и сплавы, это один из главных учебных примеров статистической физики. Метод Метрополиса (1953), которым её считают, – основа методов Монте-Карло в физике.

Где находится температура перехода – её находят по пику теплоёмкости и восприимчивости – и как она зависит от размера решётки. Гистограмма намагниченности ниже перехода оказывается двугорбой: магнит выбирает направление.

1. Разберитесь, почему решётка спинов теряет намагниченность скачком и что такое фазовый переход. Выпишите модель, с которой будете работать.
2. Запишите энергию $E = -J\sum_{\langle ij\rangle} s_i s_j - h\sum_i s_i$, где $s_i = \pm 1$, и алгоритм Метрополиса: переворот спина с вероятностью $\min(1, e^{-\Delta E/kT})$; границы – периодические.
3. Напишите программу с нуля: решётка плюс тепловая карта, программа короткая.
4. Проверьте намагниченность против точной формулы ниже $T_c$: $M = \left(1 - \sinh^{-4}\frac{2J}{kT}\right)^{1/8}$ – это целая кривая для сравнения (минимум).
5. Найдите пик теплоёмкости: он должен стоять около точной температуры перехода Онсагера $\frac{kT_c}{J} = \frac{2}{\ln(1+\sqrt2)} \approx 2{,}269$, то есть около 2,27 (минимум).
6. Помните про критическое замедление: вблизи $T_c$ шагов на термализацию и усреднение нужно много, и мерить сразу после старта нельзя – равновесие ещё не наступило.
7. Снимите сдвиг пика теплоёмкости с размером решётки L = 16, 32, 64, 128 и постройте графики намагниченности, энергии и теплоёмкости от температуры.
8. Постройте гистограммы намагниченности при разных температурах: ниже перехода они двугорбые – магнит выбирает направление. Добавьте гистерезис во внешнем поле $h$.
9. Расширение: сравните кластерный алгоритм Вольфа с Метрополисом и разберите зависимость от размера решётки.
10. Оформите работу: живую картинку доменов, графики намагниченности, энергии и теплоёмкости от температуры, гистограммы намагниченности при разных T; сформулируйте выводы и подготовьте доклад.