Как газ приходит к равновесию: распределение Максвелла

Если все молекулы газа стартуют с одной и той же скоростью, уже через несколько столкновений скорости «перемешиваются» и распределяются по закону Максвелла. И распределение это одинаково при любом старте: газ сам приходит к нему и больше не сходит.

На распределении Максвелла держатся скорость химических реакций, испарение и утечка атмосфер планет: лёгкие газы из «хвоста» распределения набирают вторую космическую и улетают. Больцман на этой задаче построил H-теорему – первое объяснение того, почему время течёт в одну сторону.

За сколько столкновений газ приходит к равновесию и как это время зависит от плотности. Что будет, если в какой-то момент развернуть все скорости, – парадокс Лошмидта.

1. Разберитесь, почему газ сам приходит к распределению Максвелла и почему это распределение одинаково при любом старте. Выпишите формулу распределения.
2. Запишите в 2D распределение модуля скорости $f(v) = \frac{mv}{kT}\exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right)$ – у каждой компоненты гауссиана; в приведённых единицах ($m = k = 1$) это $f(v) = \frac{v}{T}e^{-v^2/2T}$.
3. Возьмите каркас задачи MD и добавьте к нему гистограммы скоростей.
4. Перед запуском опыта обязательно выключите термостат Берендсена: иначе он сам подгоняет скорости, и опыт теряет смысл.
5. Проверьте форму гистограммы в равновесии и среднюю кинетическую энергию на частицу – в 2D она равна $kT$ (минимум).
6. Температуру для сравнения берите из средней кинетической энергии в конце, а не из стартовой скорости: в газе Леннарда-Джонса часть энергии уходит в потенциальную, при малой плотности расхождение мало.
7. Посчитайте H-функцию $H = \sum f\ln f\,\Delta v$ по гистограмме и постройте её график от времени – она убывает (минимум).
8. Снимите время релаксации от плотности и сравните его со средним временем между столкновениями.
9. Расширение: разберите парадокс Лошмидта – разверните все скорости и покажите, что газ какое-то время «идёт назад»; ошибки округления разрушают обратимость, и скоростной Верле обратим лишь до них – это не баг, а предмет исследования.
10. Оформите работу: анимацию газа, гистограмму скоростей, которая на глазах становится кривой Максвелла, график H-функции от времени и время релаксации от плотности; сформулируйте выводы и подготовьте доклад.