Защита от излучения: метод Монте-Карло

Гамма-квант или нейтрон летит в веществе по прямой, пока случайно не столкнётся с атомом. В точке столкновения он либо поглощается, либо рассеивается в новом направлении. Путь каждой частицы случаен, но средний результат для миллиона частиц вполне определён.

Метод Монте-Карло родился в 1940-х именно в этой задаче – при расчёте нейтронов (Улам, фон Нейман, Метрополис). Сегодня так рассчитывают защиту реакторов и рентгеновских кабинетов и планируют лучевую терапию – программы Geant4 и MCNP.

Как пропускание и отражение (альбедо) зависят от толщины экрана и от доли рассеяния. Насколько «простая экспонента» недооценивает прошедшее излучение – это называют фактором накопления. На какой глубине выделяется доза.

1. Разберитесь, как частица летит в веществе по прямой, пока случайно не столкнётся с атомом, и что происходит в точке столкновения. Выпишите, чем модель ограничена.
2. Запишите модель: пластина толщиной $d$, полный коэффициент ослабления $\mu = \mu_a + \mu_s$, длина свободного пробега $s = -\frac{\ln u}{\mu}$; в точке столкновения поглощение с вероятностью $\mu_a/\mu$, иначе изотропное рассеяние – косинус нового угла равномерен на $[-1,1]$; геометрия пластины одномерная по глубине, направления трёхмерные.
3. Напишите программу с нуля: она короткая, вся сложность – в постановке опыта и статистике.
4. Проверьте случай без рассеяния: пропускание должно быть точно $T = e^{-\mu d}$ (минимум).
5. Проверьте случай без поглощения ($\mu_a = 0$): всё вылетает, $T + R = 1$. Убедитесь, что статистическая ошибка убывает как $1/\sqrt N$ (минимум).
6. Постройте график пропускания от толщины в логарифмическом масштабе при нескольких долях рассеяния – это основная серия работы (минимум).
7. Возьмите реальные числа: для гамма-квантов 1 МэВ в свинце массовый коэффициент ослабления около 0,07 см²/г, плотность 11,35 г/см³, то есть $\mu \approx 0{,}8$ см⁻¹.
8. Посчитайте фактор накопления – во сколько раз полное пропускание больше нерассеянного $e^{-\mu d}$ – от толщины и доли рассеяния, а также альбедо и профиль поглощённой дозы по глубине.
9. Расширение: добавьте многослойный экран (свинец + вода).
10. Оформите работу: картинку десятков траекторий, график пропускания от толщины, гистограммы углов вылета и глубины поглощения; честно оговорите, что модель упрощённая – при комптоновском рассеянии квант теряет энергию, – и подготовьте доклад.