Резерфордовское рассеяние: как открыли атомное ядро

Альфа-частица пролетает мимо ядра золота и отклоняется кулоновским отталкиванием. Чем ближе она подлетает, тем сильнее её отбрасывает, и редкие частицы отлетают почти назад, откуда пришли.

В опыте Гейгера и Марсдена 1909 года примерно одна альфа-частица из 8000 отражалась от золотой фольги назад. Модель Томсона, где заряд «размазан» по всему атому, этого объяснить не могла, и в 1911 году Резерфорд заключил, что заряд атома сосредоточен в крошечном ядре. Сегодня то же рассеяние работает в микроэлектронике: методом обратного резерфордовского рассеяния (RBS) анализируют состав тонких плёнок.

«Повторить опыт на компьютере»: пустить тысячи частиц со случайными прицельными параметрами и набрать гистограмму углов. Сравнить два атома – томсоновский и резерфордовский – и найти, при какой энергии частица начинает «чувствовать» размер ядра.

1. Разберитесь в явлении: альфа-частица отклоняется кулоновским отталкиванием ядра, и редкие частицы отлетают почти назад. Выпишите, чем модель Резерфорда отличается от модели Томсона.
2. Запишите силу $\vec F = \frac{k q_1 q_2}{r^3}\vec r$ и выберите единицы – фемтометры и МэВ, $ke^2 = 1{,}44$ МэВ·фм.
3. Возьмите каркас задачи о гравитации (орбиты) – там та же сила $1/r^2$, только притяжение, – и замените притяжение на отталкивание.
4. Посчитайте расстояние наибольшего сближения при лобовом ударе $d_0 = \frac{k q_1 q_2}{E}$; для альфа-частицы 5 МэВ на золоте ($Z = 79$) должно получиться $d_0 \approx 45$ фм. Проверьте сохранение энергии и момента импульса.
5. Проверьте одну траекторию: угол связан с прицельным параметром как $b = \frac{d_0}{2}\cot\frac{\theta}{2}$ – одно число сравнивается сразу. Следите за шагом: у ядра сила огромна, поэтому нужен адаптивный шаг или RK4 с контролем энергии.
6. Наберите статистику: пучок трёхмерный, а каждая траектория плоская, поэтому прицельный параметр разыгрывается с плотностью, пропорциональной $b$: $b = b_{max}\sqrt{u}$, где $u$ равномерно на $[0,1)$. Равномерное по $b$ распределение даст неверную гистограмму – это хорошая точка контроля.
7. Постройте гистограмму углов рассеяния поверх теоретической кривой: доля частиц с углом больше $\theta$ равна $\frac{b(\theta)^2}{b_{max}^2}$, а дифференциальное сечение $\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{d_0}{4}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)}$ (минимум).
8. Сравните атом Томсона (равномерно заряженный шар радиусом ~0,1 нм) с точечным ядром – на веере траекторий и на гистограмме.
9. Расширение: добавьте ядро конечного размера – внутри потенциал заряженного шара, радиус ядра $R \approx 1{,}2A^{1/3}$ фм, для золота около 7 фм, – и покажите, при какой энергии гистограмма отходит от формулы Резерфорда.
10. Оформите работу: веер траекторий, гистограмму углов рассеяния поверх теоретической кривой, сравнение моделей Томсона и Резерфорда и выводы о размере ядра; подготовьте доклад.