Синхронизация: метрономы, светлячки, мост

Если связать много колебательных систем с немного разными частотами, при достаточно сильной связи они вдруг начинают «тикать» в такт. Порядок рождается из разнобоя, и начинается это при вполне определённой силе связи – пороге синхронизации.

Светлячки в Юго-Восточной Азии вспыхивают одновременно. Сердце бьётся по сигналу примерно десяти тысяч клеток-«водителей ритма»: у каждой свой темп, но они подстраиваются друг под друга и вспыхивают одновременно – так рождается один общий удар. Метрономы на общей подвижной доске синхронизируются за минуту. Лондонский мост Миллениум в 2000 году раскачался, когда пешеходы бессознательно зашагали в такт его колебаниям. Генераторы в энергосистеме должны держать общую частоту.

При какой силе связи возникает синхронизация и как степень порядка растёт после порога. Как это зависит от разброса собственных частот.

1. Разберитесь, как связанные колебательные системы с немного разными частотами начинают «тикать» в такт и что такое порог синхронизации.
2. Запишите модель Курамото: $\dot\theta_i = \omega_i + \frac{K}{N}\sum_j \sin(\theta_j - \theta_i)$, параметр порядка $re^{i\psi} = \frac{1}{N}\sum_j e^{i\theta_j}$; через него уравнение переписывается как $\dot\theta_i = \omega_i + Kr\sin(\psi - \theta_i)$ – счёт идёт за $O(N)$, тысячи осцилляторов без труда.
3. Возьмите каркас задачи о колебаниях и превратите его в набор осцилляторов Курамото.
4. Решите, откуда берутся собственные частоты: для лоренцева распределения они разыгрываются как $\gamma\tan(\pi(u - 0{,}5))$.
5. Для частот, распределённых по Лоренцу с полушириной $\gamma$, есть точный ответ: $K_c = 2\gamma$ и $r = \sqrt{1 - K_c/K}$ при $K > K_c$ – это целая кривая для сравнения (минимум).
6. Сравните кривую $r(K)$ для лоренцева распределения с формулой – она должна совпасть (минимум).
7. Проверьте общую формулу $K_c = \frac{2}{\pi g(0)}$: для гауссова распределения с разбросом $\sigma$ это $K_c = \sigma\sqrt{8/\pi} \approx 1{,}60\sigma$.
8. Постройте графики параметра порядка от силы связи для лоренцева и гауссова распределений и посмотрите, как на результат влияет число осцилляторов $N$ – флуктуации порядка $1/\sqrt N$. Добавьте гистограммы фаз и частот.
9. Расширение: постройте настоящую механическую модель – метрономы на подвижной доске – или возьмите двугорбое распределение частот.
10. Оформите работу: «точки на окружности», которые собираются в кучку, график параметра порядка от силы связи поверх теоретической кривой, гистограммы фаз и частот. Тема легко становится слишком абстрактной, поэтому в работе обязателен физический пример – метрономы; подготовьте доклад.