Троянские астероиды: задача трёх тел

На орбите Юпитера, на 60° впереди и позади него, собираются астероиды. Там притяжение Солнца и Юпитера вместе с вращением системы складываются так, что астероид может стоять на месте относительно Юпитера – это точки равновесия L4 и L5.

Троянцев Юпитера известны тысячи – больше десяти тысяч. К ним летит зонд NASA Lucy, запущенный в 2021 году. У Земли найден троянец 2010 TK7. Спутники Сатурна Янус и Эпиметей каждые несколько лет меняются орбитами по «подковообразной» траектории. А в точках Лагранжа ставят космические телескопы: «Джеймс Уэбб» работает в L2.

При каком отношении масс точки L4 и L5 устойчивы. Насколько далеко от L4 можно стартовать, чтобы астероид всё-таки остался в ловушке, – то есть как выглядит карта области устойчивости. И какие бывают орбиты: «головастики» и «подковы».

1. Разберитесь, почему астероид может стоять на месте относительно Юпитера в 60° впереди и позади него – это точки равновесия L4 и L5. Вращающаяся система с силой Кориолиса для вас новая, разберитесь с ней отдельно.
2. Запишите уравнения во вращающейся системе в приведённых единицах (расстояние между массивными телами 1, суммарная масса 1, угловая скорость 1, $\mu = \frac{m_2}{m_1 + m_2}$): $\ddot x - 2\dot y = \frac{\partial\Omega}{\partial x}$, $\ddot y + 2\dot x = \frac{\partial\Omega}{\partial y}$, $\Omega = \frac{x^2 + y^2}{2} + \frac{1-\mu}{r_1} + \frac{\mu}{r_2}$. Выводить их самому не обязательно – возьмите готовыми.
3. Возьмите каркас задачи о гравитации и перенесите интегрирование во вращающуюся систему; считайте RK4 с контролем интеграла Якоби $C = 2\Omega - \dot x^2 - \dot y^2$.
4. Проверьте сохранение $C$ на одной траектории. Затем запустите астероид у L4 при массе Юпитера и убедитесь, что он держится в ловушке (минимум).
5. Проверьте критерий Рауса: L4 устойчива при $\mu < \mu_{кр} = \frac{1}{2}\left(1 - \sqrt{\frac{23}{27}}\right) \approx 0{,}0385$. Возьмите реальные отношения масс: Солнце – Юпитер $\mu \approx 9{,}54\cdot10^{-4}$, Земля – Луна $\mu \approx 0{,}0122$ – оба меньше критического (минимум).
6. Покажите неустойчивость при $\mu = 0{,}05$: стартовав у L4, астероид должен уйти. Затем получите оба типа орбит – «головастика» и «подкову» (минимум).
7. Численно найдите $\mu_{кр}$ и сравните с 0,0385.
8. Постройте карту устойчивости по начальному смещению от L4 для системы Солнце – Юпитер: траекторий много, считайте их без отрисовки каждой.
9. Расширение: доведите карту устойчивости до полной или сравните расчёт во вращающейся системе с расчётом в инерциальной.
10. Оформите работу: орбиты во вращающейся системе (головастик, подкова, уход), карту устойчивости, график интеграла Якоби; сформулируйте выводы и подготовьте доклад.