Что такое логическое высказывание?

Высказывание – повествовательное предложение, про которое можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Два условия должны выполняться одновременно: предложение должно быть повествовательным по форме и допускать оценку «истина / ложь» – причём ровно одну из двух, не обе сразу и не ни одной.

Возвращаемся к разминке. Фразы «Волга впадает в Каспийское море» и «2 + 2 = 5» – высказывания: первое истинно, второе ложно. Вопрос «Который сейчас час?» и команда «Уберите со стола!» высказываниями не являются в принципе – у них нет истинностного значения, спрашивать об их «правдивости» бессмысленно.

Есть случаи хитрее, чем очевидные вопрос и команда:

• «Этот фильм – лучший в этом году» – не высказывание: оценка субъективна, у разных людей будет разный ответ, единой, объективной истинности здесь нет.
• «x > 5» – само по себе не высказывание, пока неизвестно, чему равен x. Как только x подставлено конкретным значением (например, x = 10), фраза превращается в высказывание – «10 > 5», истина. Это та же переменная, что и в блоке 1 – просто в новом контексте: пока в «коробке» нет значения, судить об истинности нечего.
• «Это предложение ложно» – отдельный курьёзный случай: если оно истинно, то оно ложно, а если ложно – то истинно. Такое предложение не укладывается в понятие высказывания (в логике это называют парадоксом лжеца), но для нашего курса достаточно просто знать, что такие конструкции существуют.

Писать каждый раз слова «истина» и «ложь» неудобно, поэтому договариваются об обозначениях, которых мы будем держаться весь курс:

Это те же самые 0 и 1, из которых, как вы уже знаете, компьютер строит любую информацию, – совпадение не случайное, и к нему вернёмся в уроке про физическую реализацию логики.

Одно высказывание принимает ровно одно из двух значений. «Наполовину истинных» высказываний в классической алгебре логики не бывает: если утверждение нельзя однозначно оценить – значит, это просто не высказывание.

Формальную логику – систему правил, по которым из верных посылок получают верные выводы, – заложил ещё Аристотель в IV веке до н. э. Но долгое время она оставалась чисто философским инструментом, а не расчётным.

Поворотный момент случился в 1854 году: английский математик Джордж Буль в книге «An Investigation of the Laws of Thought» показал, что с высказываниями можно работать как с алгеброй – не с числами, а с истиной и ложью, по строгим формальным правилам. В его честь эту алгебру называют булевой.

Именно на этом фундаменте держится всё остальное: логические операции, законы для упрощения выражений и, в конце концов, – то, как те же самые правила «зашиты» в электронных схемах компьютера и в конструкции if на Python.