Учебник Тренажёр ЕГЭ Спецкурс Игры Об авторе

Арифметика и математика

Вся физика полёта тела умещается в две строки:

x = x_0 + V * cos(radians(alpha)) * t;
y = y_0 + V * sin(radians(alpha)) * t - g * t * t / 2.f;

Это записанные на C++ формулы кинематики:

\[ \begin{aligned}x(t) &= x_0 + V \cos\alpha \cdot t \\[4pt]y(t) &= y_0 + V \sin\alpha \cdot t - \frac{g t^2}{2}\end{aligned} \]

Похоже настолько, что кажется, будто переводить формулу в код – дело механическое. Почти так и есть, но у этого перевода есть ровно одна ловушка, на которую попадаются все. К ней и придём.

Четыре действия

Знаки те же, что в математике: +, -, *, /. Умножение нельзя опускать: 2t – ошибка, надо 2 * t. Возведения в степень знаком нет вовсе, для него есть функция.

Приоритет обычный: сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание, скобки главнее всего. В строке для y сначала посчитается radians(alpha), затем синус, затем умножение на V и на t; отдельно посчитается g * t * t / 2.f, и только в конце произойдут сложение с y_0 и вычитание.

Главная ловушка: деление целых

Вот та самая ловушка. Посмотрите на строку и скажите, что окажется в dt:

float dt = 1 / 60;

В dt окажется ноль. Не 0.0167, а именно ноль.

Причина: 1 и 60 – целые числа. Для целых чисел деление в C++ тоже целое: оно даёт целую часть частного и выбрасывает остаток. 1 / 60 – это «сколько раз 60 помещается в 1», то есть ноль. И уже этот ноль кладётся в дробную переменную.

Компилятор не жалуется: он не знает, что вы имели в виду. Программа запустится, время не будет идти, а картинка замрёт – и искать причину вы будете в физике, а не в этой строке.

Как надо

float dt = 1.0f / 60.0f;   // 0.0167 – правильно
float dt = 1 / 60;         // 0 – ловушка
float dt = 1.0f / 60;      // 0.0167 – тоже правильно:
                           // хватает одного дробного участника

Правило, которое стоит запомнить дословно: если в делении оба числа целые, результат будет целым. Достаточно сделать дробным хотя бы одно – и деление станет обычным.

То же касается переменных. Если int steps = 7; и вы пишете steps / 2, получите 3, а не 3.5.

Отсюда и / 2.f в формуле для y. Строго говоря, там хватило бы и / 2: слева от деления стоит g * t * t, а это уже дробное число, и деление будет дробным. Но привычка писать 2.f дешевле, чем каждый раз проверять глазами, что стоит слева.

Сокращённая запись

Прибавить к переменной и положить обратно приходится постоянно, поэтому для этого есть короткая форма:

Запись То же самое
t += dt; t = t + dt;
v -= 0.1f; v = v - 0.1f;
x *= 2.0f; x = x * 2.0f;
i++; i = i + 1;

В задачах курса вы увидите в основном +=: именно так на каждом шаге растёт время и меняется скорость.

Математические функции

Синус, косинус, корень и прочее живут в стандартной библиотеке. Чтобы ими пользоваться, в начале файла должна быть строка:

#include <cmath>

Что понадобится в задачах курса:

Функция Что делает
sin(x), cos(x) синус и косинус
sqrt(x) квадратный корень
pow(x, n) возведение в степень
fabs(x) модуль дробного числа
exp(x), log(x) экспонента и натуральный логарифм

Углы – только в радианах. sin(30) даст не 0.5, а синус тридцати радиан, то есть почти минус единицу. Если угол задан в градусах, его надо перевести.

Перевод градусов в радианы, Task_0

const float PI = 3.14159265f;

float radians(float degrees) {
    return degrees * PI / 180.f;
}

// дальше в расчёте:
x = x_0 + V * cos(radians(alpha)) * t;

Число «пи» здесь объявлено своё. В <cmath> есть готовое M_PI, но пользоваться им напрямую опасно, поэтому рядом с ним обычно пишут вот такую защиту:

#ifndef M_PI
#define M_PI 3.14159265358979323846
#endif

Читается как «если M_PI ещё не определено – определим сами». Дело в том, что M_PI не входит в стандарт языка: на Linux она есть почти всегда, на Windows – не во всех настройках. Эти три строки делают код одинаково рабочим везде.

Дробные числа не точны

Последнее, но важное для численного счёта. float хранит число приближённо. Поэтому такая проверка почти наверняка не сработает:

if (t == 1.0f) { ... }   // почти никогда не выполнится

Время растёт шагами: t += dt. Даже при dt = 0.01 сотня сложений даст не ровно 1.0, а 0.99999994 или 1.0000001 – каждое сложение округляется, и погрешности копятся. Проверка на точное равенство просто не сработает, а тело, скажем, не остановится там, где должно.

Сравнивать дробные надо неравенствами: if (t >= 1.0f). Знак равенства оставьте для целых чисел и bool.

Поэтому касание земли в Task_0 проверяется так:

if (y <= 0.f) { ... }   // а не y == 0.f

Ровно в ноль координата не попадёт почти никогда: за один шаг тело перепрыгивает через землю и оказывается чуть ниже неё.

← Переменные и типы Функции и главный цикл →