Школьная задача по физике решается формулой – пока условия идеальные: воздуха нет, угол маленький, тело одно. Шаг в сторону, и формулы нет.
Остаётся то, что умеет компьютер: считать движение маленькими шагами по времени. Сегодня четыре задачи из спецкурса по численному моделированию. В каждой – физический сюрприз, которого не видно из формулы, и численная ловушка, в которую попадает каждый, кто пишет такую программу впервые.
Закон Ньютона говорит не где будет тело, а как меняется его скорость. Значит, зная состояние сейчас, можно найти его через малый промежуток $\Delta t$ – и повторять это сколько угодно раз:
a = F(x, v) / m; // сила – из физики задачи
v += a * dt; // скорость через dt
x += v * dt; // координата через dtТри строки и цикл – это и есть численная модель. Формулы ответа в ней нет: есть закон и начальное состояние. Поэтому сопротивление воздуха, большой угол или третье тело добавляются одной строкой в силе.
Платим за это тем, что ответ теперь зависит от шага $\Delta t$ и от того, в каком порядке стоят строки. Об этом – вся лестница.
Мяч бросают с земли со скоростью 20 м/с. Без воздуха дальше всего он улетит под углом 45° – это знает каждый.
Ваш прогноз: с сопротивлением воздуха лучший угол
Физика. Сопротивление растёт с квадратом скорости и сильнее всего съедает долгий высокий полёт. Выгоднее бросать положе: чем быстрее мяч и сильнее воздух, тем ниже лучший угол. Формулы для дальности с сопротивлением в школьном курсе нет – а перебор углов в программе занимает миллисекунды.
Численная ловушка. Программа узнаёт о падении только после шага, когда тело уже ниже земли. Поэтому дальность зависит от $\Delta t$, а на графике тело «проваливается». Лекарство – мельче шаг, точнее метод или интерполяция между двумя последними точками. Шаг – не техническая мелочь, а часть модели.
Складываем два колебания: $y = A_1 \sin \omega_1 t + A_2 \sin \omega_2 t$. Здесь даже численного метода нет – только формула и вопрос, как часто компьютер на неё смотрит.
Ваш прогноз:
Физика. Сумма двух близких тонов – не тон, а тон с медленно меняющейся громкостью. Частота пульсаций равна разности частот – так настраивают гитару по камертону.
Численная ловушка. Если за один шаг колебание успевает пройти больше половины периода ($\omega \Delta t > \pi$), точки складываются в волну другой, ложной частоты. Это те же колёса кареты, которые в кино крутятся назад. Ошибки в программе нет – формула верна, неверно то, как редко мы на неё смотрим. На практике на период берут 10–20 точек.
Школьная формула периода $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ не содержит амплитуды.
Ваш прогноз: маятник отпустили с 10° и со 150°. Периоды
И второй вопрос: что будет с размахом, если считать по трём строкам из начала страницы, ничего не меняя?
Физика. Формула периода выведена для малых углов, где $\sin\varphi \approx \varphi$: при 10° ошибка полпроцента, при 30° – уже 4,5 %. На больших углах возвращающая сила меньше, чем обещает линейная модель, и маятник ходит медленнее. Точного решения в элементарных функциях нет, а численное – те же три строки.
Численная ловушка. В явном Эйлере координата берёт старую скорость, и каждый шаг добавляет энергии чуть-чуть – но всегда в плюс. Поменяйте местами две строки, и ошибка начнёт колебаться вокруг нуля, а не копиться:
// явный Эйлер: энергия растёт // Эйлер–Кромер: энергия держится
phi += w * dt; w += a * dt;
w += a * dt; phi += w * dt;И самая будничная ошибка: в пульте угол в градусах, а sin в любом языке программирования ждёт радианы. Компилятор не возразит – sin(30) для него обычное число.
Планета в поле звезды: $\vec a = -GM\,\vec r / r^3$. В программе это та же сила в тех же трёх строках, только в двух измерениях.
Ваш прогноз:
Физика. Законы Кеплера в программу никто не вписывал: в ней только закон тяготения. Эллипс, постоянство $L$ и $T^2 \propto a^3$ получаются сами – это и есть проверка модели.
Численная ловушка. У перицентра скорость велика и сила меняется быстро. Шаг, которого хватало на дальнем краю орбиты, у звезды проносит тело мимо неё целиком, и сила, посчитанная в одной точке, действует на весь этот путь. Отсюда переменный шаг в настоящих программах: мельче там, где быстро.
Без программирования – физикам. Откройте эту страницу на уроке: симуляции работают в браузере, вход не нужен. Формат – «прогноз → опыт → объяснение»: вопросы из этой страницы готовы, значения для опыта – в «Что подкрутить».
Электронная таблица – вместе. Тот же шаг в Excel или LibreOffice: строка – момент времени, столбцы $t$, $x$, $v$, $a$, в каждой ячейке – предыдущее значение плюс приращение. Явный Эйлер и Эйлер–Кромер отличаются одной ссылкой на ячейку: на старую скорость или на новую.
Программа – информатикам. В спецкурсе у каждой задачи готовая заготовка: окно, ползунки и графики собраны, ученик пишет только вычислительную функцию. Язык в нужном объёме – в разделе «Основы C++», исходники библиотеки – архивом.
Те же три строки, только тел больше.