Что такое позиционная система счисления?

Позиционная система счисления – система записи чисел, в которой значение цифры зависит от её позиции (разряда) в записи числа.

Для контраста – пример непозиционной системы: римские цифры. В записи XX (20) и XXX (30) символ X означает одно и то же число 10 в любой позиции, а величина числа получается сложением значений символов, а не их «весов». Значение здесь задаёт сам символ, а не место, на котором он стоит.

Основание системы счисления – количество различных цифр-символов, которые в ней используются. В десятичной системе это 10 цифр: от 0 до 9.

Ключевая идея позиционной записи: у каждого разряда есть свой «вес» – во сколько раз цифра в этом разряде «весомее» той же цифры в соседнем справа разряде. В десятичной системе этот вес равен основанию, то есть 10.

Возьмём число 5305 и распишем, что на самом деле означает каждая цифра:

$5305 = 5 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 5 \cdot 1$

То же самое, но через степени десятки – считая разряды справа налево начиная с нуля:

$5305 = 5 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$

Развёрнутая форма числа – запись числа в виде суммы произведений его цифр на веса соответствующих разрядов.

Обратите внимание на разряд с цифрой 0: слагаемое $0 \cdot 10^1$ ничего не добавляет к сумме, но и выбросить его из записи нельзя – иначе соседние цифры съедут на разряд вправо и число 5305 превратится в 535. Именно поэтому ноль в позиционной записи – полноценная цифра, а не «пустое место».

Десятичная система – не единственно возможная, а лишь частный случай с основанием 10. Такой выбор объясняется не математикой, а биологией: у человека 10 пальцев на руках, и исторически счёт начинался именно с них.

Позиционная запись с нулём в её современном виде возникла в Индии примерно в V–VII веках и уже оттуда, через труды арабских математиков (в частности, ал-Хорезми, IX век), распространилась в Европу – поэтому привычные нам цифры называют «арабскими», хотя корректнее было бы «индийскими».

Следы других оснований дожили до наших дней: в часе 60 минут, а в минуте 60 секунд – это наследие шестидесятеричной системы древнего Вавилона. Раз правило «вес разряда = основание в степени номера разряда» не привязано к числу 10, оно точно так же сработает для основания 2, 8, 16 или любого другого – просто наборы цифр и сами числа будут выглядеть иначе.

Обобщим развёрнутую форму на произвольное основание b. Обозначим цифры числа буквой $a$ с номером разряда: $a_0$ – самая правая цифра, $a_1$ – следующая слева и так далее. Тогда число раскладывается как:

$N = a_0 \cdot b^0 + a_1 \cdot b^1 + a_2 \cdot b^2 + \dots$

При этом каждая цифра числа может принимать значения от 0 до b − 1 включительно – в десятичной системе (b = 10) это цифры от 0 до 9, а в системе с другим основанием набор цифр будет другим по составу и количеству.

Отсюда полезное следствие: цифра никогда не бывает равна основанию или больше него. Если в записи числа встретилась цифра 7, то основание системы точно больше 7 – иначе такой записи просто не могло бы быть.

Пока мы говорили про одну систему за раз, путаницы не возникало. Но дальше в этом блоке одно и то же число будет встречаться сразу в нескольких системах, а запись «101» без уточнений означает три разных числа: сто один в десятичной, пять в двоичной, шестьдесят пять в восьмеричной.

Поэтому основание указывают нижним индексом справа от числа:

Договорённость: если индекса нет, число считается десятичным. Само основание в индексе всегда пишут десятичным числом – иначе получилась бы бесконечная матрёшка, ведь любое основание в собственной системе записывается одинаково как «10».