Формула развёрнутой формы переводит число в десятичную систему: цифры известны, остаётся умножить и сложить. А как быть с обратной задачей – записать десятичное число в системе с другим основанием?
Развернуть ту же формулу «в лоб» не выйдет: цифры результата нам как раз и неизвестны, именно их нужно найти. Нужен отдельный алгоритм – и он оказывается неожиданно простым, всё сводится к делению с остатком.
В этом уроке: метод деления уголком, почему остатки читаются снизу вверх, как проверить себя обратным переводом и что делать, если очередной остаток оказался больше 9.
Метод деления уголком
Деление уголком (для перевода систем счисления) – способ перевода числа из десятичной системы в систему с основанием b: число последовательно делят на b с остатком, пока частное не станет равным 0, а затем читают остатки в обратном порядке.
Пошагово:
Разделить число на основание b, запомнить остаток – это цифра младшего (самого правого) разряда результата.
Полученное частное снова разделить на b, запомнить следующий остаток.
Повторять, пока частное не станет равным 0.
Прочитать все остатки снизу вверх (в порядке, обратном тому, в котором их получали) – это и есть искомое число в системе с основанием b.
Порядок чтения – не формальность, а суть метода: самый первый остаток получается от деления самого числа, поэтому он отвечает за младший разряд, а не за старший.
Остаток от деления на b всегда меньше b – а значит, он гарантированно является допустимой цифрой в системе с основанием b. Метод по построению не может выдать «несуществующую» цифру.
Пример: основание 2
Переведём число 13 в двоичную систему. Каждый следующий шаг сдвинут правее – так виден сам «уголок»:
Обратите внимание на последний шаг: делить нужно, пока частное не станет ровно нулём, а деление 1 : 2 = 0 с остатком 1 – полноценный шаг, а не «уже ничего не осталось».
Ниже – тот же алгоритм, но интерактивно. Меняйте число и основание, жмите «Следующий шаг», чтобы раскрывать деление постепенно (или «Показать всё» – сразу целиком), и смотрите, как из подсвеченных остатков в конце собирается ответ.
Проверка обратным переводом: основание 5
Хорошая привычка – проверять результат обратным переводом: два метода независимы, и совпадение ответов почти исключает ошибку.
Остаток 10 записываем буквой A. Снизу вверх: $2A5_{12}$.
Частая оплошность здесь – оставить остаток числом и написать «2105»: в этой записи уже не три разряда, а четыре, и означает она совсем другое число. Значение 10 – это одна цифра, и записать её нужно одним символом.
Типичная ошибка
Самая частая ошибка при делении уголком – прочитать остатки в том порядке, в котором их получали (сверху вниз), а не в обратном. Возьмём число 13 из примера выше: если по ошибке прочитать остатки сверху вниз, получится $1011_2$ – а это уже другое число (11 в десятичной, а не 13). Правильный ответ, напомним, был $1101_2$.
Чтобы не ошибиться, полезно держать в голове: первый остаток – младший разряд, поэтому он должен оказаться справа, а не слева.
Вторая по частоте ошибка – остановиться, когда частное стало равно 1, а не 0. Тогда старший разряд просто теряется: вместо $1101_2$ получится $101_2$, то есть 5.
Коротко
Деление уголком переводит число из десятичной системы в систему с основанием b: делим на b с остатком, пока частное не станет 0.
Остатки читаются снизу вверх: первый полученный остаток – младший (самый правый) разряд результата.
Делить нужно до частного 0, а не до 1 – иначе теряется старший разряд.
Остаток от деления на b всегда меньше b, поэтому он всегда является допустимой цифрой.
Остаток от 10 и выше записывается одной буквой: 10 → A, 11 → B и так далее.
Результат стоит проверять обратным переводом через развёрнутую форму – методы независимы.
Проверь себя
Короткие вопросы по теме урока. Попыток сколько угодно, на прохождение блока они не влияют – это проверка для себя.