Физика: гармоническое колебание – Спецкурс

Что такое колебание

Колебанием называют изменение физической величины, которое повторяется или близко к повторению во времени. Примеры – движение груза на пружине, колебания мембраны динамика, смещение атома в кристаллической решётке и ток в колебательном контуре.

В этой работе рассматриваются периодические колебания: через некоторое время $T$ значение функции повторяется точно.

$$f(t + T) = f(t)$$

Число $T$ называется периодом. Из него получаются ещё две величины, которыми пользуются постоянно:

Величина	Формула	Смысл
период $T$	–	сколько времени на одно колебание
частота $\nu$	$1/T$	сколько колебаний за единицу времени
круговая частота $\omega$	$2\pi\nu = 2\pi/T$	сколько радианов набегает за единицу времени

Круговая частота используется в аргументе синуса, поэтому часто встречается в формулах. В программе ручки называются «Частота 1» и «Частота 2», и имеется в виду именно $\omega$.

Гармоническое колебание

Базовый пример периодического процесса – гармоническое колебание, происходящее по синусу:

\[ f(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0) \]

Три числа задают его полностью:

$A$ – амплитуда, наибольшее отклонение от равновесия. Значение $f$ колеблется от $-A$ до $+A$;
$\omega$ – круговая частота, определяет период: $T = 2\pi/\omega$;
$\varphi_0$ – начальная фаза, сдвиг по времени. Она отвечает на вопрос «в какой точке колебание находилось в момент $t = 0$».

В нашей программе фазы нет – оба колебания стартуют из нуля: в формуле стоит просто $\sin(\omega t)$.

Гармоническое колебание возникает как линейное приближение около устойчивого положения равновесия, если возвращающая сила при малом отклонении пропорциональна этому отклонению. Тогда уравнение движения имеет синусоидальное решение. В следующей задаче это будет показано на примере математического маятника при малых углах.

Принцип суперпозиции

Что происходит, когда в одной точке пространства встречаются несколько колебаний?

В линейной модели отдельные колебания складываются: значение результирующей величины равно сумме вкладов.

$$y(t) = A_1 \sin(\omega_1 t) + A_2 \sin(\omega_2 t)$$

Пример из жизни: когда в комнате играют два инструмента, звуковые волны от них складываются в воздухе, и ухо слышит оба звука одновременно. Скрипка не заглушает рояль и не превращается в него – давление воздуха в каждый момент равно сумме двух давлений.

Это и называется принципом суперпозиции. Он работает для звука, света, волн на воде и электрических сигналов в тех режимах, где уравнения линейны по искомым величинам и их производным.

Где он не работает: очень громкий звук (воздух перестаёт быть линейным), большие волны на воде, свет в некоторых кристаллах. Вся нелинейная оптика изучает режимы, в которых линейное приближение и принцип суперпозиции неприменимы.

Что делает эта программа

Складывает два гармонических колебания и рисует результат:

float y_t = A1 * sin(w1 * t) + A2 * sin(w2 * t);

Одна строка. Вся физика работы – в ней.

Обратите внимание, чего в программе нет: нет численной схемы, нет шага метода, нет накопления состояния. Значение $y$ в момент $t$ считается прямо по формуле, как в задаче о теле, брошенном под углом. Единственное, что копится от кадра к кадру, – само время.

Шаг по времени в пульте определяет моменты, в которые вычисляется формула. Его влияние разобрано в третьей статье.

Параметры программы

Ручка	Обозначение	Что меняет
Амплитуда 1	$A_1$	размах первого колебания
Частота 1	$\omega_1$	как часто оно колеблется
Амплитуда 2	$A_2$	размах второго
Частота 2	$\omega_2$	как часто колеблется второе

Если поставить «Амплитуда 2» в ноль, останется одна синусоида – на ней видно период $2\pi/\omega$: при $\omega = 1$ это 6.28 единиц по оси времени.

Со второй амплитудой вид кривой зависит от соотношения частот: при кратных ($\omega_2 = 2\omega_1$) получается периодическая, но уже не синусоидальная кривая, при близких, но не равных – биения. О них следующая статья.