Тело вылетает с башни высотой три метра. В десяти метрах от неё висит мишень – короткий наклонный отрезок. Нужно подобрать скорость и угол так, чтобы попасть в неё.
Траектория такого полёта описывается точными формулами: подставили время – получили точку, и всю параболу можно начертить разом, от броска до земли. Но готовая кривая отвечает на вопрос «куда тело прилетело», а нас занимает другой – что происходит с ним по дороге. Поэтому программа не чертит параболу, а проигрывает полёт: в каждом кадре она заново вычисляет, где тело находится сейчас, и рисует его в этой точке.
Так будет устроена и каждая следующая задача курса: не вывести формулу ответа, а проследить за системой шаг за шагом. Начнём с физики, а потом посмотрим, во что она превращается в тридцати строках кода.
Пока тело летит, на него действует только сила тяжести. Сопротивление воздуха мы не учитываем – о том, что при этом теряется, речь пойдёт в конце статьи.
Сила тяжести $F = mg$ направлена вниз и не зависит ни от скорости тела, ни от того, куда оно летит. По второму закону Ньютона $ma = F$, то есть $ma = mg$, и масса сокращается:
Здесь $g = 9.8$ – ускорение свободного падения в м/с², а знак минус означает «вниз», против направления оси $y$.
Ускорение направлено строго вниз, вдоль одной оси. Отсюда следует главное упрощение задачи:
Вместо одной сложной кривой мы считаем два простых движения, каждое по своей оси. Кривая получается сама, когда мы соединяем пары $(x, y)$ в каждый момент времени.
Приём работает, пока сила направлена вдоль одной оси. В задаче о движении в поле тяготения сила смотрит на центр и всё время поворачивается – там оси разделить уже нельзя, и формулы для $x(t)$ не существует. Оттуда и начнутся численные методы.
Бросок задан двумя числами: модулем скорости $V$ и углом $\alpha$ к горизонту. Разложение вектора даёт составляющие скорости по осям:
$$V_x = V\cos\alpha, \qquad V_y = V\sin\alpha$$
Проверьте на крайних случаях – это лучший способ не перепутать синус с косинусом:
В пульте угол задаётся в градусах – так привычнее. А функции sin и cos в C++ принимают радианы. Поэтому в программе есть отдельная маленькая функция radians(), и забыть её – самая частая ошибка в этой задаче: тело полетит не туда, а компилятор ничего не скажет, потому что с точки зрения языка всё правильно.
Горизонталь: равномерное движение, путь равен скорости на время. Вертикаль: равноускоренное движение, $s = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2}$ с $a = -g$. Собираем вместе и добавляем точку старта $(x_0, y_0)$:
Эти две строки – вся физика задачи. Дальше в программе не будет ничего, чего нет здесь.
Проверка размерности – привычка, которая экономит часы. В слагаемом $g t^2 / 2$: ускорение измеряется в м/с², время в секундах, значит $g t^2$ даёт м/с² · с² = м. Метры, как и должно быть у координаты. Если бы в формуле случайно оказалось $g t$, получились бы м/с – и ошибка нашлась бы до запуска программы.
Пусть тело стартует с земли, $y_0 = 0$. Приравняем $y(t) = 0$ и найдём время полёта $T$:
$$T = \frac{2 V \sin\alpha}{g}$$
Подставим это время в $x(t)$ и получим дальность:
$$L = \frac{V^2 \sin 2\alpha}{g}$$
Синус максимален при аргументе $90°$, то есть при $\alpha = 45°$. Отсюда школьный факт: дальше всего летит бросок под сорок пять градусов.
Но в нашей задаче старт не с земли, а с высоты три метра – и вывод перестаёт работать: формула для времени полёта получена в предположении $y_0 = 0$. Куда сместится оптимальный угол, вверх или вниз от 45°, и почему – об этом задание «Где на самом деле максимум дальности». Ответ можно сначала угадать, потом проверить на симуляции, а потом вывести.
Сопротивление воздуха. Для плотного тела, летящего десяток метров со скоростью около 8 м/с, поправка невелика – и мы её выбросили сознательно, ради того чтобы получить точную формулу.
Если сопротивление добавить, скажем в простейшем виде $\vec{F} = -k\vec{v}$, ускорение перестанет быть постоянным: оно начнёт зависеть от скорости, скорость от ускорения, и формулы $x(t)$ в готовом виде уже не будет. Останется единственный выход – считать движение по маленьким шагам. Именно так устроены все остальные задачи курса.
Пока же у нас точное решение. Тем интереснее следующий вопрос: если формула точная, откуда в пульте взялась ручка «Шаг по времени» и на что она вообще влияет?