Точная формула и шаг по времени – Спецкурс

Параметр «Шаг по времени»

В пульте есть параметр «Шаг по времени» со значением 0.01. В остальных задачах курса он определяет точность: там движение считают маленькими шагами, и чем шаг мельче, тем ближе результат к правде.

Здесь не так. У нас есть точная формула, которая по времени $t$ сразу даёт координаты – без всяких шагов. Тогда что делает эта ручка? Ответ неочевидный и стоит целой статьи, потому что ошибка, которую она порождает, встретится вам во всех остальных работах.

Что программа делает каждый кадр

Расчётная функция вызывается по разу за кадр и делает вот что: увеличивает время на dt и подставляет его в формулу.

t += dt;
x = x_0 + V * cos(radians(alpha)) * t;
y = y_0 + V * sin(radians(alpha)) * t - g * t * t / 2.f;

Обратите внимание: новые координаты считаются от начала полёта, а не от предыдущей точки. В правой части нет ни старого x, ни старого y – только t, и оно каждый раз подставляется в точную формулу заново.

Из этого следует важное: ошибка не накапливается. Тысячная точка траектории вычислена так же точно, как первая. Уменьшать шаг ради точности бессмысленно – точность и так предельная, какую позволяет тип float.

Сравните с тем, как выглядел бы шаг, если бы формулы у нас не было:

x += vx * dt;          // новое положение от старого
y += vy * dt;
vy += -g * dt;         // новая скорость от старой

Здесь каждая величина строится на предыдущей, и маленькая неточность на первом шаге доживает до последнего, обрастая новыми. Вот там шаг решает всё. Такой код вы напишете в задаче о маятнике.

Тогда на что влияет шаг

На две вещи, и обе не про точность траектории.

Первое – частота точек. Траектория на экране – это след из отдельных точек, по одной за кадр; отрезками программа их не соединяет. Крупный шаг – редкая цепочка кружков, мелкий – точки ложатся так плотно, что читаются сплошной линией. Это чистая косметика.

Второе – попадание в мишень. А вот это уже серьёзно, потому что от шага зависит ответ задачи, а не вид картинки.

Как программа ищет попадание

Мишень – это отрезок, но в программе он представлен набором из пятидесяти одной точки, расставленных вдоль него. Попадание засчитывается, если тело подошло хотя бы к одной из них ближе, чем на $R = 0.15$ метра:

$$\sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2} < R$$

Величина $R$ – это, по сути, радиус тела: чем он больше, тем легче попасть.

Ключевое слово здесь – «подошло». Программа не знает, где тело находилось между кадрами; она проверяет условие только в те моменты времени, которые посчитала. Между двумя проверками тело «телепортируется».

\[ \Delta s \approx V \, \Delta t \]

Когда тело проходит сквозь мишень

За один шаг тело смещается примерно на $V \Delta t$. Чтобы хотя бы одна проверка застала его внутри круга радиуса $R$ вокруг мишени, нужно, чтобы шаг был меньше диаметра этого круга:

$$V \Delta t < 2R$$

Подставим числа задачи: $V = 8$ м/с, $R = 0.15$ м. Получаем $\Delta t < 0.037$ с. Значение по умолчанию 0.01 – с трёхкратным запасом. А вот что будет, если шаг увеличивать:

Шаг $\Delta t$, с	Смещение за шаг, м	Что видно на экране
0.005	0.04	точки сливаются в линию, попадание засчитывается
0.01	0.08	так по умолчанию
0.03	0.24	ещё ловится, но уже на грани
0.05	0.40	тело проходит сквозь мишень
0.2	1.6	редкая цепочка точек, мишени как будто нет

Самое неприятное в этой ошибке – что она выглядит как ошибка физики. Тело явно летит через мишень, а программа говорит «мимо». Опечатку в такой ситуации начинают искать в формулах, хотя формулы безупречны: неверна не физика, а то, что мы смотрим на неё редкими кадрами.

Эта ловушка есть в каждой задаче курса

Любое событие, которое ищут перебором по шагам, можно проскочить. Столкновение частиц в молекулярной динамике, момент прохождения маятника через положение равновесия, пересечение орбитой заданного радиуса – всё это ищется одинаково и ломается одинаково.

Что с этим делают взрослые программы:

уменьшают шаг – просто, надёжно, но расчёт идёт дольше;
проверяют не точку, а отрезок между старым и новым положением: пересёк ли он мишень. Тогда шаг не важен вовсе;
ищут момент события точно – если известно, что между двумя кадрами величина сменила знак, момент перехода уточняют делением отрезка пополам.

В нашей программе сделано самое простое, первое. Второй способ – одно из заданий.

Второй уровень дискретности

Шаг по времени – не единственное место, где непрерывная задача нарезана на кусочки. Мишень тоже нарезана: вместо отрезка в программе лежит пятьдесят одна точка.

Здесь та же опасность, только по-другому расположенная. Длина нашей мишени – от $(8.5;\ 3.0)$ до $(10.5;\ 3.5)$, то есть $\sqrt{2^2 + 0.5^2} \approx 2.06$ метра. Разделив её на 50 частей, получаем расстояние между соседними точками около 0.04 м – заметно меньше радиуса $R = 0.15$. Значит круги вокруг соседних точек перекрываются, дырок между ними нет, и мишень работает как сплошной отрезок.

А теперь мысленный эксперимент: поставьте TARGET_POINTS = 5. Расстояние между точками станет 0.41 м, круги радиусом 0.15 м перестанут перекрываться, и в мишени появятся четыре дырки, сквозь которые тело будет пролетать. Это то же самое явление, что и слишком крупный шаг по времени, только в пространстве.

Общее правило, которое стоит запомнить со всего курса: когда непрерывную величину заменяют набором точек, надо отдельно проверить, что шаг между точками мельче самой мелкой детали, которую вы не хотите потерять.