Физика: уравнение маятника

На груз действуют две силы: тяжесть $mg$ вниз и реакция стержня вдоль него.

Разложим тяжесть на две составляющие – вдоль стержня и перпендикулярно ему (по касательной к окружности):

• вдоль стержня: $mg\cos\alpha$. Эта часть полностью гасится реакцией стержня – именно поэтому груз и не улетает, а движется по окружности;
• по касательной: $mg\sin\alpha$. Гасить её нечем, и она-то и разгоняет груз.

Обозначим через $v$ скорость груза вдоль дуги (положительная – в сторону роста угла). Касательная составляющая тяжести направлена против отклонения: чем сильнее маятник отклонён, тем сильнее его тянет назад. Отсюда знак минус во втором законе Ньютона:

$$m\frac{dv}{dt} = -mg\sin\alpha$$

Масса стоит с обеих сторон и сокращается:

$$\frac{dv}{dt} = -g\sin\alpha$$

Период маятника не зависит от массы груза. Свинцовый шарик и пластиковый на одинаковых стержнях качаются в такт.

Первое уравнение говорит, как меняется скорость. Но программе нужно ещё знать, как меняется угол – иначе нечего рисовать.

Груз идёт по окружности радиуса $l$. Длина пройденной дуги при повороте на угол $\alpha$ равна $s = l\alpha$ (это и есть определение радианной меры). Скорость – производная пути по времени:

$$v = \frac{ds}{dt} = l\,\frac{d\alpha}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\alpha}{dt} = \frac{v}{l}$$

Собираем оба уравнения вместе – это и есть вся физика задачи:

Обратите внимание на устройство этой пары. У нас две величины, которые надо помнить в каждый момент: угол и скорость. Знать только угол недостаточно – маятник в вертикальном положении может как проноситься мимо на большой скорости, так и висеть неподвижно.

Пара «угол и скорость» называется состоянием системы, и в программе ей соответствуют ровно две переменные:

float alpha = 0.0f;  // угол отклонения маятника
float v = 1.f;       // скорость груза по дуге

Всё остальное – координаты груза, форма графика, энергия – считается из этих двух чисел.

Уравнение $\dfrac{dv}{dt} = -g\sin\alpha$ не решается через привычные функции. Но если маятник отклоняют слабо, работает приближение

$$\sin\alpha \approx \alpha \quad (\alpha \ll 1)$$

Насколько оно точно: при $\alpha = 10°$ (это 0.1745 рад) синус равен 0.1736 – ошибка полпроцента. При $30°$ (0.5236 рад) синус 0.5 – ошибка уже 4.5%.

С этой заменой уравнение становится уравнением гармонических колебаний, и его решение известно:

$$\alpha(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0), \qquad \omega = \sqrt{\frac{g}{l}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

В приближении малых углов период не зависит от амплитуды. Для реального маятника это приближение тем точнее, чем меньше угол отклонения.

Стоит отклонить маятник посильнее, и $\sin\alpha$ перестаёт быть равным $\alpha$. Синус растёт медленнее аргумента, значит возвращающая сила меньше той, что предсказывает линейная формула. Маятник возвращается ленивее – период растёт.

Последняя строка не опечатка. Если энергии хватает ровно на то, чтобы дойти до верхней точки, маятник будет подбираться к ней бесконечно долго, всё медленнее и медленнее, и никогда её не пройдёт. Это сепаратриса – граница между двумя типами движения.

Точное решение для больших колебаний выражается через эллиптические интегралы. Численный метод позволяет получить зависимость угла и скорости от времени, не вычисляя эти специальные функции.

В зависимости от того, сколько энергии дали маятнику вначале, получается качественно разное поведение:

1. Колебания. Энергии не хватает дойти до верха. Маятник ходит туда-сюда, угол ограничен;
2. Вращение. Энергии больше, чем нужно на подъём. Маятник крутится через верхнюю точку в одну сторону, угол растёт неограниченно;
3. Сепаратриса – ровно граница между ними.

Увидеть все три сразу на графике $\alpha(t)$ трудно. А на фазовой диаграмме – в координатах «угол – скорость» – они выглядят как три разные фигуры, и переход между ними виден мгновенно. Этому посвящена отдельная статья работы.