Фазовая диаграмма

Мы уже говорили, что состояние маятника задаётся парой чисел: угол и скорость. Пара чисел – это точка на плоскости. Значит:

• точка на фазовой плоскости – состояние маятника в данный момент. Красная точка на экране;
• линия – история: все состояния, через которые он прошёл. Синяя кривая;
• форма линии – характер движения целиком.

Ключевое свойство: через каждую точку фазовой плоскости проходит ровно одна траектория. Если маятник дважды оказался в одном и том же состоянии (тот же угол, та же скорость), дальше он оба раза пойдёт одинаково – уравнения-то те же. Отсюда сразу следует, что фазовые траектории не пересекаются: точка пересечения означала бы, что из одного состояния можно продолжить двумя способами.

Это очень сильное утверждение. Оно означает, что вся плоскость разбита на непересекающиеся линии, и по картинке видно поведение системы при любых начальных условиях сразу.

Замкнутая линия – периодическое движение. Маятник возвращается в то же состояние, значит дальше всё повторится. Замкнутость – самый простой признак периодичности, и увидеть его гораздо легче, чем сравнивать между собой горбы на графике $\alpha(t)$.

Размер фигуры – энергия. Чем больше энергии дали маятнику, тем дальше от начала координат проходит траектория.

При колебаниях замкнутая траектория обходится по часовой стрелке. Смотрите: в правой полуплоскости $\alpha > 0$, и уравнение $dv/dt = -\sin\alpha$ даёт отрицательное ускорение, скорость падает. Значит из верхней правой части точка едет вниз. Слева наоборот. При вращении фазовая траектория не обходит замкнутую фигуру вокруг начала координат: направление движения по углу определяется знаком скорости.

Пересечение вертикальной оси – маятник проходит нижнюю точку ($\alpha = 0$) на максимальной скорости. Пересечение горизонтальной оси ($v = 0$) – при колебаниях это момент остановки в крайнем положении.

При разной начальной скорости на фазовой диаграмме получаются три разные картинки. Числа ниже – для значений по умолчанию, $g = l = 1$.

1. Маленькая скорость ($v_0 < 1$) – почти эллипс. Это режим малых колебаний. Угол не превышает нескольких десятков градусов, синус почти равен углу, и траектория близка к эллипсу (при подходящем выборе масштабов осей – к окружности).

2. Скорость побольше ($1 < v_0 < 2$) – «глаз». Эллипс растягивается по горизонтали и становится приплюснутым у краёв: маятник подолгу задерживается в крайних положениях, где скорость почти нулевая. Это и есть рост периода с амплитудой, увиденный геометрически.

3. Большая скорость ($v_0 > 2$) – волнистая линия сверху. Маятник крутится через верх, скорость меняется, но знак не меняет: он всё время идёт в одну сторону. Траектория не замкнута в привычном смысле – она уходит вправо и появляется слева.

Граница между вторым и третьим случаем – это отдельная траектория, и у неё есть имя: сепаратриса (от «separare» – разделять).

Найдём её точно. Энергии должно хватить ровно на подъём до верхней точки, где скорость станет нулевой. В безразмерных величинах:

$$\frac{v_0^2}{2} + (1 - \cos 0) = \frac{0^2}{2} + (1 - \cos\pi)$$

Слева – энергия внизу: кинетическая плюс потенциальная, а $\cos 0 = 1$, так что второе слагаемое обращается в ноль. Справа – энергия наверху: скорость нулевая, а $\cos\pi = -1$, так что потенциальная равна 2. Остаётся $v_0^2/2 = 2$, откуда $v_0 = 2$.

Что произойдёт при точно такой скорости? Маятник будет подниматься, замедляясь, и подойдёт к верхней точке за бесконечное время. Строго говоря, он никогда её не достигнет: чем ближе, тем медленнее.

В численном расчёте точка не остаётся на сепаратрисе неограниченно долго: погрешность округления и дискретизации переводит её на одну из соседних траекторий. Результат зависит от метода и шага по времени. Это соответствует неустойчивости сепаратрисы, но конкретный момент и направление ухода являются свойством численного расчёта.

Насколько близко к $v_0 = 2$ удаётся подойти в расчёте, прежде чем маятник свалится в ту или другую сторону, – вопрос уже не к физике, а к шагу и точности схемы.

Угол периодичен: состояния с углами $\alpha$ и $\alpha + 2\pi$ физически одинаковы. Поэтому фазовое пространство маятника удобно представлять цилиндром. В пределах одного оборота на нём есть два различных положения равновесия – там обе производные равны нулю. На развёрнутой фазовой плоскости их копии повторяются через каждые $2\pi$.

Центр, точка $(0, 0)$ – маятник висит внизу неподвижно. Толкните его чуть-чуть, и он начнёт качаться рядом: траектории вокруг этой точки – маленькие замкнутые кривые. Положение устойчивое.

Седло, точка $(\pi, 0)$ – маятник неподвижен в верхнем положении равновесия. Малое отклонение уводит траекторию от этой точки, поэтому положение неустойчивое. Через седловые точки проходит сепаратриса. На развёртке цилиндра одно и то же верхнее положение показано на обоих краях как $(\pm\pi, 0)$.

Названия «центр» и «седло» используются в теории динамических систем. Тип особой точки позволяет описать локальное поведение траекторий без явного решения уравнений.

При вращении вы увидите, что синяя линия доходит до правого края графика и мгновенно появляется у левого. Этот переход не означает скачка физического положения маятника.

Дело в этих строках программы:

if (alpha >  M_PI) alpha -= 2.0f * (float)M_PI;
if (alpha < -M_PI) alpha += 2.0f * (float)M_PI;

Угол приводится к диапазону от $-\pi$ до $\pi$. Физически углы $\alpha$ и $\alpha + 2\pi$ – это одно и то же положение маятника, поэтому вычитание полного оборота ничего не меняет.

А нужно это по двум причинам. Во-первых, без нормализации при вращении угол рос бы неограниченно, и через минуту работы траектория ушла бы далеко за правый край графика. Во-вторых, в накопленном числе вроде 1500.37 радиан на семь значащих цифр float остаётся слишком мало места для дробной части – расчёт начал бы терять точность.

Такой приём – склеить края и сделать из полосы цилиндр – встречается везде, где величина периодична: фаза колебания, координата в периодической решётке, направление ветра.