Безразмерные переменные

Тип float хранит около семи десятичных значащих цифр для нормализованных чисел. Его диапазон конечен: слишком большое по модулю значение переполняется, а слишком малое может округлиться до нуля.

Потеря точности возникает и при действиях с числами сильно разных масштабов. Например, результат сложения $10^{20}+1$ в float округлится до $10^{20}$: единица не помещается в доступные значащие цифры. При этом в физической формуле складывать можно только величины одинаковой размерности.

Безразмеризация обычно приводит переменные к сопоставимым масштабам и снижает риск такой потери точности, хотя сама по себе не гарантирует точный расчёт. Кроме того, значения порядка единицы удобнее проверять по ожидаемому порядку величины.

В механике три независимые основные размерности: масса, длина, время. Для каждой выбирают масштаб. После этого масштабы скорости, энергии и силы определяются через первые три.

В задаче о маятнике естественный выбор такой:

После выбора масштаба длины значение $g=1$ фиксирует масштаб времени. Поскольку $g$ имеет размерность длины, делённой на время в квадрате, получается $t_{\ast}=\sqrt{l/g}$. Речь идёт не о новой секунде, а о безразмерной единице времени данной модели.

Масштаб составляют из $m$, $l$ и $g$ как комбинацию нужной размерности. Для выбранного набора основных масштабов показатели степеней определяются размерностями.

Время. Ищем комбинацию с размерностью секунды. У $g$ размерность м/с², у $l$ – м. Тогда $l/g$ даёт с², а корень из него – секунды:

$$[t] = \sqrt{\frac{l}{g}}$$

Скорость. м/с получается делением длины на время:

$$[v] = \frac{l}{\sqrt{l/g}} = \sqrt{gl}$$

Энергия. Кг·м²/с². Проще всего сообразить из потенциальной энергии $mgh$:

$$[E] = mgl$$

Характерный масштаб энергии равен $E_{\ast} = mgl$. Если скорость записать как $v = v_{\ast}\tilde v$, где $v_{\ast} = \sqrt{gl}$, то кинетическая энергия примет вид $mv^2/2 = E_{\ast}\tilde v^2/2$. Множитель $1/2$ остаётся в безразмерной формуле, а размерность энергии задаёт масштаб $mgl$.

Для интерпретации безразмерного ответа его переводят обратно в выбранные единицы. Рассмотрим маятник длиной $l = 1$ м при ускорении свободного падения $g = 9.8$ м/с².

Единица времени:

$$\tau = \sqrt{\frac{l}{g}} = \sqrt{\frac{1}{9.8}} = 0.319\ \text{c}$$

Программа для малых колебаний даёт безразмерный период $2\pi \approx 6.283$. Переводим: $6.283 \times 0.319 = 2.01$ секунды.

Проверяем по школьной формуле: $T = 2\pi\sqrt{l/g} = 2\pi\sqrt{1/9.8} = 2.01$ с. Результаты совпадают.

Единица скорости: $\sqrt{gl} = \sqrt{9.8} = 3.13$ м/с. Значит начальная скорость $v_0 = 1$ в интерфейсе соответствует 3.13 м/с для маятника длиной один метр.

После выбора масштабов в уравнениях идеального маятника без трения не остаётся размерных параметров. Поэтому маятники этой модели при одинаковых безразмерных начальных условиях описываются одним и тем же безразмерным расчётом – метровый на Земле, десятиметровый на Луне или сантиметровый в лаборатории.

Разница между ними целиком уходит в масштабы, то есть в пересчёт ответа. Один прогон программы отвечает сразу за все случаи. Именно поэтому таблица «период от амплитуды» из статьи о физике дана в долях $T_0$, а не в секундах: в секундах её пришлось бы печатать заново для каждой длины стержня.

В программе при этом остаются параметры «Длина стержня l» и «Ускорение свободного падения g». Они нужны по двум причинам.

Первая – учебная: полезно увидеть своими глазами, что меняется при изменении длины и ускорения свободного падения. Интерфейс позволяет менять их без редактирования и пересборки программы.

Вторая – проверочная. Формула $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ утверждает, что при увеличении длины вчетверо период вырастет вдвое. Сравнение с симуляцией позволяет проверить реализацию расчёта.

Здесь «безразмерность» означает, что значения по умолчанию равны единице, и в этих единицах вы читаете все числа на экране. Отходить от них можно, надо только помнить, что при $g = 4$ единица времени уже другая.