Задания

Разминка на правку кода. Сейчас dt зашит константой, и исследовать его влияние можно только пересборкой.

Выведите шаг в пульт: добавьте ручку в main и читайте её в расчётной функции.

// в main, рядом с остальными ручками:
add_float_param("Шаг по времени", 0.05f, 0.001f, 0.5f, 0.005f);

// в calculation_function, вместо глобального dt:
float dt = get_float_param("Шаг по времени");

Проверьте влияние шага на период. Период малых колебаний $2\pi \approx 6.28$; при $dt = 0.3$ на него приходится около 21 шага. Увеличивайте шаг и найдите:

1. при каком шаге фазовая траектория заметно перестаёт быть замкнутой;
2. при каком расчёт разваливается совсем.

Подбирайте начальную скорость так, чтобы маятник еле-еле доходил до верхней точки и замирал там надолго.

Вопросы:

1. что происходит на экране при $v_0$ очень близком к 2 – в какую сторону сваливается маятник?
2. поменяйте шаг по времени и повторите. Сторона осталась той же? Почему ответ на этот вопрос не зависит от физики?
3. как выглядит сепаратриса на фазовой диаграмме и почему у неё острые углы в точках $(\pm\pi, 0)$?

Выясните, как меняется вид фазовой траектории при увеличении энергии колебаний.

Пройдите начальную скорость от 0.2 до 2.5 с шагом примерно 0.3. Четвёртая статья называет три режима – почти эллипс, «глаз» и волнистая линия наверху; здесь нужно найти, при каких $v_0$ один переходит в другой, и записать эти числа.

Отдельно: уберите строку clear_plot_history из click_button и запустите несколько раз подряд с разной скоростью. Все траектории останутся на одном графике, и получится фазовый портрет системы – картинка, по которой видно поведение маятника при любых начальных условиях сразу. Именно так эти рисунки и делают в учебниках.

Главное задание работы – проверить, что период растёт с амплитудой, и построить эту зависимость.

Часть первая, измерение вручную. Запустите маятник, засеките по показанию «Время» два последовательных прохода через нижнюю точку в одну сторону. Разность – период. Проделайте для нескольких значений $v_0$ и сравните с таблицей из первой статьи.

Часть вторая, измерение программой. Научите программу измерять период самостоятельно. Идея: маятник прошёл нижнюю точку, если угол сменил знак с минуса на плюс.

float alpha_prev = 0.f;   // рядом с состоянием
float t_prev_cross = 0.f;

// в расчётной функции, после обновления угла:
if (alpha_prev < 0.f && alpha >= 0.f) {
    set_float_param("Период", t - t_prev_cross);
    t_prev_cross = t;
}
alpha_prev = alpha;

Обратите внимание: момент перехода определяется с точностью до шага по времени – та же дискретность событий, что и в задаче про баллистику, где тело проходило сквозь мишень. Насколько это влияет на измеренный период?

Часть третья. Постройте график зависимости периода от амплитуды. Проще всего – выводить точки в отдельный график по мере измерения, меняя начальную скорость и нажимая «Заново».

Постройте графики кинетической, потенциальной и полной энергии.

В безразмерных величинах при $m = 1$:

$$K = \frac{v^2}{2}, \qquad U = 1 - \cos\alpha, \qquad E = K + U$$

Потенциальная энергия отсчитывается от нижней точки: высота груза над ней равна $l(1 - \cos\alpha)$.

Заведите третий график и рисуйте на нём три кривых от времени – у add_plot_history_point есть параметр label, и разные подписи дают разные линии на одном графике.

Что проверить:

1. кинетическая и потенциальная колеблются в противофазе – когда одна максимальна, другая равна нулю;
2. полная энергия должна быть прямой линией. Приглядитесь: она слегка колеблется. Это не ошибка физики, а погрешность метода – ровно то, о чём говорилось в статье про симплектическую схему;
3. увеличьте шаг по времени и посмотрите, как растёт размах этих колебаний. Убегает ли энергия в одну сторону или качается около постоянного значения?

Переделайте схему в явную – так, чтобы обе величины считались по старым значениям:

float alpha_new = alpha + v / l * dt;
float v_new     = v - g * sin(alpha) * dt;   // здесь СТАРЫЙ alpha
alpha = alpha_new;
v     = v_new;

Запустите и подождите полминуты. Третья статья обещает у явной схемы систематический дрейф энергии и уползающую траекторию – проверьте это и измерьте по графику из задания 5, на сколько процентов уходит полная энергия за первую минуту счёта.

Затем ответьте на вопросы:

1. уменьшите шаг вдесятеро. Спираль исчезла или просто стала раскручиваться медленнее? Что это говорит о природе ошибки?
2. можно ли, взяв достаточно мелкий шаг, заставить явную схему сохранять энергию точно?
3. в каких задачах явная схема всё-таки годится?

Не забудьте вернуть симплектическую схему обратно – дальше она понадобится.

На реальный маятник действует сила трения. При не слишком больших скоростях её можно считать пропорциональной скорости.

Добавьте в уравнение для скорости слагаемое $-k v$:

float k = get_float_param("Трение k");
v += (-g * sin(alpha) - k * v) * dt;

Здесь $k$ – коэффициент затухания после деления силы сопротивления на массу. Заведите ручку «Трение k» с диапазоном от 0 до 4 и шагом 0.02: при $l=g=1$ критическое значение линейной модели равно $k=2$.

Вопросы:

1. что стало с фазовой траекторией? Опишите форму;
2. куда она в итоге приходит и почему именно туда;
3. при $k = 0$ картинка должна совпасть с прежней. Совпала? Это проверка, что вы ничего не сломали;
4. увеличивайте $k$. Начиная с некоторого значения маятник перестаёт колебаться вовсе и просто сползает в нижнее положение. Найдите это значение. (В теории колебаний такой режим называется апериодическим, а граница – критическим затуханием.)

Отдельный вопрос: сохраняется ли теперь энергия и что с ней стало на графике?

Пусть точка подвеса колеблется вертикально с малой амплитудой $A$ и большой частотой $\omega$. Тогда в системе отсчёта маятника появляется дополнительное ускорение, и уравнение принимает вид

$$\frac{dv}{dt} = -\bigl(g + A\omega^2\sin(\omega t)\bigr)\sin\alpha$$

Реализуйте это (одна строка!) и подберите $A$ и $\omega$ так, чтобы маятник устойчиво стоял вверх ногами, около $\alpha = \pi$.

Это не фокус и не ошибка расчёта: явление называется маятником Капицы, его открыл Пётр Капица в 1951 году, и верхнее положение действительно становится устойчивым при быстрых колебаниях подвеса. Начните с $\omega$ около 30 и $A$ около 0.1, но сначала переведите начальный угол в click_button поближе к $\pi$.

Проверьте, что шага по времени хватает: подвес колеблется в тридцать раз быстрее самого маятника, и на его период тоже нужны те самые 20–30 шагов.